Числа

Парадоксы о целых числах, дробях и бесконечной лестнице

Парадоксы с числами оказали сильное влияние на историю математики. Противореча нашей интуиции, они не раз приводили в изумление и ставили в тупик математиков. Классическими примерами таких парадоксов могут служить открытия:

1) иррациональных чисел sqrt (2), pi, e и бесчисленного множества других;

2) мнимых чисел (числа sqrt (-1) и кратных ему) и комплексных чисел, часть которых составляют мнимые числа;

3) чисел (например, кватернионов), для которых нарушается коммутативный закон умножения: a*b != b*a;

4) чисел (например, чисел Кэли), для которых нарушается ассоциативный закон умножения: a*(b*c) != (a*b)*c;

5) трансфинитных, или бесконечных, чисел (например, "алефы", введенные Георгом Кантором, который, по словам Давида Гильберта, "открыл перед математиками новый рай").

Собранные в этой главе парадоксы относятся главным образом к рациональным числам. Исключение составляют только три последних парадокса, в которых речь идет об иррациональных и трансфинитных числах. По замыслу автора они должны не только позабавить, но и заинтересовать вас настолько, чтобы вы на свой страх и риск попытались самостоятельно разобраться в тех важных разделах теории чисел, которые в них затрагиваются. Так, "Вездесущая девятка" подводит нас к конечным арифметикам, а "Необычное завещание" - к диофантову анализу. Многие арифметические парадоксы послужат отправными точками для перехода к обобщенным алгебраическим решениям, которые отточат вашу алгебраическую технику. В самом конце главы перед нами откроется пленительный вид на канторовский рай - область математики, продолжающую бурно развиваться и в наше время.

Загадка шести стульев

 
 
Шестеро друзей заказали столик в популярной дискотеке. В последнюю минуту к ним присоединился еще один товарищ, седьмой по счету.  
 
  
 
 
 
 
 

 
 
Владелица дискотеки.
Ну вот, наконец-то гости пришли! Я накрыла для них столик на шесть персон, но, должно быть, ошиблась: их не шесть, а семь!  
 
 
 
 
 
 

 
 
Владелица дискотеки.
Впрочем, все отлично устроится! Первого гостя я посажу на первое место и попрошу его на минутку взять к себе на колени партнершу. 
 
 
 
 
 
 

 
 
Владелица дискотеки.
Третьего гостя я посажу рядом с двумя первыми, четвертого - рядом с третьим. Пятый сядет против того, кто держит партнершу на коленях, шестой - рядом с пятым. Получилось неплохо: я рассадила шестерых и одно место за столом осталось свободным! 
 
 
 
 

 
 
Владелица дискотеки.
Это место я попрошу занять партнершу, которая пока сидела на коленях у первого гостя. Разве не удивительно? Семь гостей владелица дискотеки рассадила на шести стульях, по одному на каждом стуле!  
 
 
 
 
 
 

Не сомневаюсь, что вы без труда обнаружите логическую ошибку в приведенном мною варианте старого парадокса о ловком хозяине гостиницы, сумевшем разместить десять гостей в девяти номерах так, что каждому из них досталось по отдельной комнате (см. мою статью "Математические софизмы" [Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. М.: Мир, 1971, с.125-132.]). Парадокс разрешается, если понять, что партнерша, которую владелица дискотеки попросила первого гостя подержать на коленях, в действительности гость номер 2 (а не 7). Седьмому гостю не нашлось места за столом, а второй гость или, точнее, гостья, сойдя с колен своего партнера, пересела на шестое место.

На первый взгляд, кажется, будто этот парадокс нарушает теорему о том, что конечное множество из n элементов может быть поставлено во взаимно-однозначное соответствие только с конечными множествами из n элементов. Мы еще вернемся к этой теореме в парадоксе „Отель "Бесконечность"". "Загадка шести стульев" - занимательный пример различия между конечными и бесконечными множествами.

Неуловимая прибыль

 
 
Деннис продал одну из своих картин Джорджу за 100 долларов. 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
Джордж повесил было картину у себя дома, но потом она перестала ему нравиться, и он продал ее Деннису за 80 долларов.   
 
 
 
 
 
 

 
 
Через неделю Деннис продал картину Джерри за 90 долларов.

Деннис. Ты совершил удачную покупку, Джерри. Лет через десять эта картина будет стоить в 50 раз дороже, чем ты заплатил за нее! 
 
 
 
 
 

 
 
Художник был доволен.

Деннис. Сначала я продал картину за 100 долларов. Эта сумма возместила затраченные мной время и материалы, поэтому я не остался в убытке, хотя и не получил прибыли. Затем я выкупил ее за 80 и продал за 90 долларов. Моя прибыль составила, таким образом, 10 долларов. 
 
 
 

 
 
 По расчетам Джорджа выходило иначе.

Джордж. Художник продал свою картину за 100 и приобрел снова за 80 долларов. Следовательно, его чистая прибыл составила 20 долларов. Вторую продажу можно не принимать во внимание, так как 90 долларов - примерно столько, сколько стоила картина на самом деле. 
 
 
 

 
Джерри в своих расчетах как бы принимал во внимание соображения и Денниса, и Джорджа.

Джерри. Продав картину за 100 и приобретя ее снова за 80 долларов, художник получил 20. долларов чистой прибыли. Еще 10 долларов он заработал, купив картину за 80 и продав ее мне за 90 долларов. Следовательно, пол-пая прибыль художника составила 30 долларов. 
 
 
 

Какова в действительности чистая прибыль от продажи картины: 10, 20 или 30 долларов?
 
 

Эта нехитрая, но несколько запутанная задача обычно вызывает оживленные споры. И лишь по прошествии некоторого времени начинаешь сознавать, что задача не вполне определена и поэтому всякий из приведенных ответов столь же хорош (или столь же плох), как и любой другой.

Определить, „какова в действительности чистая прибыть от продажи картины", невозможно, так как в условиях задачи ничего не говорится о "себестоимости" картины - о том, во что обошлось (в денежном выражении) ее создание художнику. Оставим в стороне время, затраченное художником на создание картины, и предположим, что Деннис уплатил за все материалы (подрамник, холст и краски) 20 долларов. После трех продаж он получил за картину 110 долларов. Если чистую прибыль определить как разность между суммой денег, вырученной от продажи картины, и стоимостью израсходованных материалов, то чистая прибыль составит 90 долларов.

Поскольку нам не известно, сколько художник уплатил за материалы (мы лишь предположили, что за подрамник, холст и краски он уплатил 20 долларов), вычислить прибыль невозможно. Эта задача лишь кажется арифметической; в действительности же здесь все упирается в вопрос, что понимать под реальной прибылью. Аналогичный парадокс возникает в связи со старым вопросом о том, раздается ли какой-нибудь звук при падении дерева в глухом лесу, если поблизости нет ушей, чтобы его слышать. Ответ на вопрос может быть и утвердительным, и отрицательным в зависимости от того, что понимать под словом "звук".

Два парадокса, которыми открывается глава 3 ("Геометрия"), могут служить новыми, не менее занимательными примерами проблем, возникающих в связи с различными толкованиями одного слова.

Демографический взрыв

 
 
Кому из нас не приходилось слышать о том, как быстро увеличивается численность населения земного шара?
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
Президент Лиги борцов против контроля за рождаемостью мистер Нинни не согласен с общим мнением. Он считает, что численность населения земного шара убывает и что вскоре у каждого будет больше пространства, чем нужно. Рассуждает мистер Нинни следующим образом.
 
 
 
 
 

 
 
М-р Нинни.
У каждого из нас двое родителей. Но у каждого из родителей также по двое родителей, поэтому у нас по две бабушки и по два дедушки, по четыре прабабушки и по четыре прадедушки. С каждым поколением в глубь истории число предков у каждого из нас удваивается.
 
 
 
 
 

 
 
М
-р Нинни. Если вы вернетесь вспять на 20 поколений в эпоху средневековья, то насчитаете 1048576 предков! И столько же предков у каждого из ныне живущих людей. Следовательно, численность населения земного шара была в миллион раз больше, чем теперь!
 
 
 
 
 

Мистер Нинни, несомненно, заблуждается. Но где ошибка в его рассуждениях?

Рассуждения Нинни правильны, если принять следующие два предположения:

1) на генеалогическом дереве каждого ныне живущего человека ни один предок не появляется более одного раза;

2) ни один человек в прошлом и настоящем не фигурирует более чем на одном генеалогическом дереве.

Ни одно из этих предположений не выполняется во всех, без исключения, случаях. Если у некой супружеской четы пятеро детей и у каждого из детей по пять детей, то наша супружеская чета будет прародителями (бабушкой и дедушкой) на 25 генеалогических деревьях, Кроме того, на любом дереве, если вернуться назад на достаточно большое число поколений, ветви будут пересекаться из-за браков между дальними родственниками.

В своих рассуждениях Нинни (и в этом состоит его ошибка) не учитывает ни того, что одни и те же люди могут фигурировать в различных генеалогических деревьях, ни того, что множества предков каждого из ныне живущих людей имеют массивное пересечение. "В демографическом взрыве", о котором толкует Нинни, миллионы людей сосчитаны миллионы раз!

Многие с удивлением узнают, как быстро возрастают члены последовательности, у которой каждый следующий член вдвое больше" предыдущего. Если один человек вздумает уплатить другому в первый день 1 доллар, во второй - 2 доллара, в третий - 4 доллара и т. д., то, как ни трудно в это поверить, на двадцатый день размер выплаты составит более миллиона долларов!

Можно ли быстро сосчитать сумму первых двадцати членов последовательности, в которой каждый следующий член вдвое больше предыдущего? Оказывается можно: для этого достаточно удвоить последний (двадцатый) член и вычесть из полученного результата единицу. В нашем случае 20-й член равен 1048576, а сумма первых 20 членов равна

(2*1048576) - 1 = 2097151.

Этот трюк применим к любой частичной сумме последовательностей, каждый член которой (начиная со второго) вдвое больше предыдущего. Существует весьма простое доказательство того, что это правило работает без "осечек". Предоставляем нашим читателям самостоятельно найти это доказательство.

Вездесущая девятка

 
 
У числа 9 немало загадочных свойств. Знаете ли вы, например, что оно незримо присутствует в дате рождения любой знаменитости?
 
 
 
 
 
 

 
 
Взять хотя бы Джорджа Вашингтона. Он родился 22 февраля 1732 г. Запишем дату его рождения как одно число: 2221732, переставим цифры в любом порядке и из большего числа вычтем меньшее. 
 
 
 
 
 
 

 
 
Сложив все цифры разности, мы получим 36, а 3 плюс 6 равно 9!
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
Проделайте то же самое с датами рождения Джона Кеннеди (29 мая 1917 г.), Шарля де Голля (22 ноября 1890 г.) или любой другой знаменитости, и вы всегда получите 9. Существует ли некая таинственная связь между девяткой и датами рождения знаменитостей? Скрыта ли девятка в дате вашего рождения?
 
 
 
 

Сложим цифры любого числа, затем цифры получившейся суммы и будем продолжать эту операцию до тех пор, пока не получится однозначная сумма, которая называется цифровым корнем исходного числа. Цифровой корень числа равен остатку от деления его на 9, поэтому описанную выше процедуру иногда называют "вычеркиванием девяток". (Подробнее о цифровых корнях см. мою статью "Цифровые корни" [Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. М.: Мир, 1971, с.125-132.].)

Цифровой корень вычисляется особенно быстро, если вычеркивание девяток производить непосредственно в процессе сложения цифр. Например, ecли первые две цифры числа равны соответственно 6 и 8, то их сумма равна 14. Сумма цифр этой суммы равна 1+4=5, поэтому мы можем сразу же вычеркнуть, или отбросить, девятку и запомнить только 5. Иначе говоря, всякий раз, когда частичная сумма становится двузначной, следует заменять ее суммой цифр. Последняя однозначная сумма и будет цифровым корнем исходного числа. Математики сказали бы, что цифровой корень сравним с исходным числом по модулю 9. Так как остаток от деления числа 9 на 9 равен 0, то в арифметике вычетов (остатков) по модулю 9 числа 9 и 0 эквивалентны.

До появления вычислительных машин арифметику вычетов по модулю 9 часто использовали для проверки сложения, вычитания, умножения и деления больших чисел. Пусть, например, мы вычитаем из числа A число B и находим разность B. Наши вычисления можно проверить: взять цифровой корень числа A, вычесть из него цифровой корень числа и и сравнить полученный результат с цифровым корнем разности B. Если вычисления произведены правильно, разность цифровых корней должна совпадать с цифровым корнем разности. Совпадение цифровых корней еще не говорит о правильности результата, но зато, если цифровые корни не совпадают, мы можем с уверенностью утверждать, что где-то в вычислениях допущена ошибка. Совпадение же цифровых корней лишь придает большую правдоподобность правильности вычислений. Аналогичным образом проверяются с помощью цифровых корней результаты выполнения сложения, умножения и деления.

Теперь уже нетрудно понять, на чем основан трюк с датами рождений. Пусть N - некоторое многозначное число. Переставив его цифры, мы получим новое число N'. Ясно, что N и N' имеют одинаковые цифровые корни. Следовательно, если мы вычтем один цифровой корень из другого, то разность будет равна 0, или 9, что то же в арифметике вычетов по модулю 9. Итак, число 0, или 9, - цифровой корень разности чисел N и N'. Следовательно, какое число мы бы ни взяли, переставив цифры и вычтя из большего числа меньшее, мы всегда получим разность с цифровым корнем, равным 0 (или 9).

Из способа вычисления цифровых корней видно, что окончательный результат, равный 0, получится только в том случае, когда числа N и N' совпадают. Следовательно, демонстрируя трюк с вездесущей девяткой в датах рождения, необходимо следить за тем, чтобы при перестановках цифр возникали различные числа. Если числа N и N' не совпадают, то цифровой корень их разности равен 9.

Многие фокусы построены на вездесущей девятке. Например, попросите кого-нибудь из ваших друзей записать в тайне от вас (чтобы не видеть, вы можете повернуться спиной) номер денежной купюры, затем как угодно переставить цифры, вычесть из большего числа меньшее и, вычеркнув в полученной разности любую отличную от нуля цифру, назвать вразбивку в произвольном порядке остальные цифры. Даже не взглянув на полученный результат, вы без труда назовете зачеркнутую цифру!

Секрет фокуса очевиден. Разность имеет цифровой корень, равный 9. Когда ваш приятель называет одну за другой цифры, вы складываете их в уме, беря каждый раз лишь вычеты (остатки) по модулю 9. После того как будет названа последняя цифра, вы вычитаете полученный вами результат из 9 и узнаете, какая цифра была зачеркнута. (Если полученный вами результат равен 9, то была зачеркнута цифра 9.)

И трюк с датой рождения, и фокус с номером денежной купюры служат великолепным введением в арифметику вычетов, или, что то же, теорию сравнений.

Разъяренный водитель

 
 
В этом автобусе 40 юношей. Скоро они отправятся в спортивный лагерь "Окифиноки".
 
 
 
 
 
 
 

 
 
В этом автобусе 40 девушек. Они едут в тот же лагерь.
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
Перед тем как отправиться в рейс, водители автобусов зашли выпить по чашечке кофе.
 
 
 
 
 
 
 

 
 
Тем временем 10 юношей вышли из своего автобуса и пересели в автобус к девушкам.
 
 
 
 
 
 
 

 
 
Водитель автобуса, в котором ехали девушки, вернувшись, заметил, что пассажиров стало слишком много.
 
 
 
 
 
 
 

 
 
Водитель
. Хватит валять дурака! В этом автобусе 40 мест, поэтому десяти из вас придется выйти. И, пожалуйста, поживее!
 
 
 
 
 
 
 

 
 
Десять пассажиров (юношей и девушек) вышли из автобуса и расположились на свободных местах того автобуса, в котором ехали юноши. Вскоре оба автобуса отправились в рейс. В каждом автобусе было по 40 пассажиров.
 
 
 
 
 

 
 
По дороге водитель того автобуса, в котором сначала были только девушки, принялся размышлять.

Водитель. …В моем автобусе осталось несколько ребят, а в другой автобус пересело несколько девушек. Интересно, кого больше: ребят в моем автобусе или девушек в другом автобусе?
 
 
 
 

 
 
Трудно поверить, но независимо от того, сколько парней и девушек было среди тех десяти пассажиров, которым пришлось пересесть в другой автобус, девушек в автобусе для юношей столько же, сколько юношей в автобусе для девушек.
 
 
 
 
 

 
 
Почему? Предположим, что в автобусе для девушек осталось 4 юноши. Тогда их места в автобусе для юношей должны занять 4 девушки. То же рассуждение применимо и к любому другому числу юношей, оставшихся в другом автобусе.
 
 
 
 
 
 

Парадоксальную на первый взгляд ситуацию с числом посторонних, проникших "не в тот автобус", легко продемонстрировать с помощью колоды игральных карт. Разделите колоду на 2 равные стопки. В одну стопку отложите 26 черных карт (трефовой и пиковой масти), в другую - 26 красных карт (бубновой и червовой масти). Сняв часть любой из двух стопок (например, 13 красных карт), переложите ее на черную стопку и тщательно перетасуйте 39 карт в образовавшейся "толстой" стопке. Затем, отсчитав из нее наугад 23 карты, верните их в красную стопку и тщательно перетасуйте образовавшуюся половину колоды.

Разложив каждую из стопок вверх лицом - вниз рубашкой, вы обнаружите, что число черных карт в красной стопке совпадает с числом красных карт в черной стопке. Доказывается это удивительное совпадение так же, как совпадение числа юношей в автобусе для девушек с числом девушек в автобусе для юношей.

На том же принципе основаны и многие другие карточные фокусы. Приведем один из них, принцип которого человеку непосвященному отгадать не так-то просто. Разделите колоду карт пополам и сложите снова так, чтобы ровно половина карт была обращена вверх лицом и ровно половина - вверх рубашкой. Перетасовав карты, покажите подготовленную таким образом колоду зрителям, не говоря им о том, что ровно 26 карт обращено вверх лицом. Попросите кого-нибудь из них, тщательно перетасовав карты, отсчитать вам 26 из них-

Затем, обращаясь к зрителям, вы произносите:

 - Странно, но в моей половине колоды вверх лицом обращено столько же карт, сколько в той половине, которая находится в руках у вас!

После этого вы просите вашего ассистента из зрителей разложить те карты, которые он держит, на столе. Пока он раскладывает карты, вы, перед тем как раскладывать карты, сами незаметно переворачиваете свою половину колоды. Как показывает подсчет, карт, лежащих вверх лицом, в обоих половинах колоды оказывается поровну!

Этот фокус основан на том же принципе, что и парадокс с автобусами. Если бы незаметно для зрителя вы не перевернули свою половину колоды, то число карт, лежащих лицом вверх, в другой ее половине было бы равно числу карт, лежащих вверх рубашкой в вашей половине колоды. Когда вы переворачиваете свою половину колоды, те карты, которые лежали вниз лицом, обращаются лицом вверх и оказываются во взаимно-однозначном соответствии с картами, лежащими лицом вверх в другой половине колоды.

В этой связи нельзя не вспомнить одну довольно старую головоломку. Стакан воды стоит рядом со стаканом вина. Жидкости в каждый стакан налито поровну. Возьмем каплю вина и, добавив в стакан с водой, тщательно перемешаем. Затем каплю смеси такого же размера, как и капля вина, перенесем в стакан с вином. Чего теперь больше: воды в стакане с вином или вина в стакане с водой?

Жидкости в двух стаканах после обмена каплями осталось поровну. Впрочем, ответ не изменился бы, если бы воды было больше (или меньше), чем вина, а также если бы после добавления первой капли смесь не была бы тщательно перемешана. Кроме того, могли бы переносить из стакана в стакан капли не обязательно одинакового размера. Единственное условие, которое должно соблюдаться неукоснительно: после всех переливаний жидкости в каждом стакане должно быть ровно столько, сколько было в самом начале. Тогда убыль вина может быть восполнена только равным количеством воды, а убыль воды - равным количеством вина! Следовательно, после всех переливаний воды в стакане с вином окажется столько же, сколько вина в стакане с водой. Доказывается это так же, как мы доказывали, что юношей в автобусе для девушек столько же, сколько девушек в автобусе для юношей или что красных карт в черной стопке столько же, сколько черных карт в красной стопке.

Головоломка с водой в вине и вином в воде - замечательный пример задачи, поддающейся решению путем громоздких вычислений, но при надлежащем подходе легко решаемой с помощью простых логических соображений.

Недостача

 
 
В магазине грампластинок 30 старых пластинок продавались по 1 доллару за 2 пластинки, а 30 других пластинок - по 1 доллару за 3 пластинки. К концу дня все 60 пластинок были распроданы. 
 
 
 
 
 
 

 
 
 30 пластинок по 1 доллару за 2 пластинки проданы за 15 долларов, 30 пластинок по 1 доллару за 3 пластинки проданы за 10 долларов. Итого - 25 долларов. 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
На следующий день управляющий магазином выставил на продажу еще 60 пластинок.

Продавец. Зачем доставлять себе лишние заботы и сортировать пластинки? Ведь если 30 пластинок идут по цене 1 доллар за 2 пластинки и 30 пластинок - по цене 1 доллар за 3 пластинки, то почему бы не продавать все 60 пластинок по цене 2 доллара за 5 пластинок? Ведь это то же самое!
 
 

 
 
К закрытию магазина все 60 пластинок были распроданы по 1 доллару за 5 пластинок. Подсчитывая дневную выручку, управляющий магазином с удивлением обнаружил, что она составляет не 25 долларов, а всего лишь 24 доллара. 
 
 
 
 
 
 

 
 
Как вы думаете, куда пропал недостающий доллар? Может быть, его похитил нечистый на руку продавец? А может быть, кому-нибудь дали сдачу на 1 доллар больше, чем следовало?
 
 
 
 
 
 
 

Отчего образовалась недостача? Виной всему нерадивый продавец, ошибочно решивший, будто выручка от продажи 60 пластинок по 2 доллара за 5 пластинок такая же, как от продажи 30 пластинок по 1 доллару за 2 пластинки и 30 пластинок по 1 доллару за 3 пластинки. Никаких оснований для подобного заключения у него не было. Разница в выручке в обоих случаях невелика - всего 1 доллар, поэтому и создается впечатление, будто недостающий доллар затерялся или его отдали по ошибке, неверно сосчитав сдачу, причитающуюся кому-то из покупателей.

Рассмотрим ту же задачу с несколько иными параметрами. Предположим, что 30 более дорогих пластинок поступило в продажу по 2 доллара за 3 пластинки, или по 2/3 доллара за 1 пластинку, а 30 менее дорогих пластинок продавались по 1 доллару за 2 пластинки, или по 1/2 доллара за пластинку. Что произойдет, если управляющий вздумает продать все 60 пластинок по 3 доллара за 5 пластинок? Если выручка от продажи двух партий по 30 пластинок составляла 35 долларов, то выручка от продажи одной партии из 60 пластинок составит 36 долларов. Вместо недостачи выручка возросла бы на 1 доллар!

В действиях продавца не было злого умысла, но, как показывает арифметика, он добросовестно заблуждался: число пластинок в наборе и цены нельзя усреднять так, как это предлагал делать он. Допущенную им ошибку можно проанализировать алгебраически, но, для того чтобы убедить вас в недопустимости подобного усреднения, достаточно одного наглядного примера.

Предположим, что у владельца салона по продаже автомашин имеется 6 "роллс-ройсов" и 6 "фольксвагенов". Он просит 100 000 долларов за 2 "роллс-ройса" и 50000 долларов за 6 "фольксвагенов". От продажи всех 12 машин владелец салона выручил бы 350 000 долларов. В среднем на 1 сделку приходятся 4 машины, а средняя выручка от 2 сделок составляет 75 000 долларов. Если бы владелец салона вздумал продавать все машины партиями по 4 машины за 75 000 долларов, то, распродав все 12 машин, он выручил бы только 225000 долларов. Кроме того, покупатель заведомо предпочел бы выложить 75 000 долларов за 4 "роллс-ройса", оставив владельцу 8 "фольксвагенов" с явно завышенной ценой. Вот, пожалуй, и все, что мы хотели бы сказать по поводу ошибки продавца грампластинок.

Магическая матрица

 
 
Начертите на листе бумаги эту матрицу 4x4 и перенумеруйте ее клетки числами от 1 до 16. Как вы сейчас убедитесь, я умею читать ваши мысли.
 
 
 
 
 
 
 

 
 
Обведите кружком любое число в матрице по своему усмотрению. На рисунке обведено число 7, но вы можете выбрать другое число. Вычеркните все числа, которые стоят в одном столбце и в годной строке с обведенным числом. 
 
 
 
 
 
 

 
 
Обведите кружком любое из невычеркнутых чисел и вычеркните числа, стоящие с ним в одной строке и в одном столбце. Обведите кружком любое из оставшихся чисел и вычеркните те числа, которые стоят с ним в одной строке и в одном столбце. Наконец обведите кружком единственное оставшееся число.
 
 
 
 

 
 
Если вы все сделали правильно, то ваша матрица выглядит примерно так, как показано на рисунке. Сложите числа, обведенные кружками. Как вы их выбирали, мне не известно.
 
 
 
 
 
 
 

 
 
Готово? А теперь я назову вам их сумму. У вас получилось число … минуточку!.. 34. Правильно? Как я отгадал, сколько у вас получилось? Может быть, я действительно умею читать ваши мысли?
 
 
 
 
 

Почему начерченная нами матрица заставляет вас всегда выбирать четыре числа, дающие в сумме 34? Секрет этой матрицы прост и изящен. Над каждым столбцом матрицы 4x4 выпишем числа 1, 2, 3. 4, а слева от каждой строки выпишем числа 0, 4, 8, 12:


1

2

3

4

0





4





8





12





Эти 8 чисел называются генераторами, или образующими, магической матрицы, В каждую клетку впишем число, равное сумме двух генераторов, стоящих у той строки и того столбца, на пересечении которых расположена клетка. Вписав все числа, мы получим матрицу, клетки которой перенумерованы по порядку числами от 1 до 16:


1

2

3

4

0

1

2

3

4

4

5

6

7

8

8

9

10

11

12

12

13

14

15

16

Посмотрим, что произойдет, если мы выберем 4 числа в соответствии с описанной выше процедурой. Она гарантирует, что никакие два обведенные кружками числа не окажутся в одной строке или в одном столбце, а поскольку каждое число в клетке равно сумме единственной и неповторимой пары образующих, то сумма четырех обведенных кружками чисел равна сумме 8 генераторов, которая, как нетрудно подсчитать, равна 34. Следовательно, сумма четырех выбранных чисел также должна быть равна 34.

Поняв, как устроена магическая матрица 4x4, вы без труда построите магическую матрицу любого порядка. Рассмотрим, например, приводимую ниже матрицу 6-го порядка с 12 генераторами. Они выбраны так, что числа в клетках матрицы кажутся случайными. Это еще более маскирует закон, по которому выписаны числа матрицы и придает ей еще большую таинственность.


4

1

5

2

0

3

1

5

2

6

3

1

4

5

9

6

10

7

5

8

2

6

3

7

4

2

5

4

8

5

9

6

4

7

0

4

1

5

2

0

3

3

7

4

8

5

3

6

Сумма генераторов равна 30. Как бы ни выбирали в этой матрице 6 чисел, из которых никакие 2 не стоят в одной строке и в одном столбце, их сумма неизменно будет равна 30. Разумеется, эту сумму мы можем устанавливать по желанию.

Вы можете построить, например, магическую матрицу 10x10 с суммой генераторов, равной любому числу, которое покажется вам интересным, например "номер" текущего года или число лет, исполняющихся вашему доброму знакомому. Можно ли построить магические матрицы с отрицательными числами в некоторых клетках? Разумеется, можно. Генератором магической матрицы может быть любое число, положительное или отрицательное, рациональное или иррациональное.

А можно ли построить магическую матрицу, в которой не сумма, а произведение выбранных чисел было бы равно заданному числу? Разумеется, можно, и это открывает перед нами еще одно направление исследований. Основная схема остается прежней, но нужное число равно не сумме, а произведению генераторов. А что, если в клетки матрицы вписывать комплексные числа? И такое возможно, но мы предоставляем читателю разобраться в этом самостоятельно. Более подробные сведения о магических матрицах вы сможете почерпнуть в главе 2 ("Фокусы с матрицами") моей книги "Математические головоломки и развлечения" [Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. М.: Мир, 1971, с.125-132.].

Необычное завещание

 
 
Один адвокат, скопивший немалое состояние, собрал коллекцию из 11 старинных машин, каждую из которых знатоки оценивали примерно в 25 000 долларов.
 
 
 
 
 
 
 

 
 
После смерти адвокат оставил необычное завещание. По его воле 11 машин должны были быть разделены между 3 его сыновьями. Половина машин должна была отойти старшему сыну, четверть - среднему и одна шестая - младшему.
 
 
 
 
 
 

 
 
Сыновья были не на шутку озадачены. Ну как можно разделить пополам 11 машин или, скажем, отделить от них четверть или одну шестую?
 
 
 
 
 
 
 

 
 
В разгар споров по поводу наследства мимо проезжала в своей новой спортивной машине знаменитый нумеролог миссис Зеро.

М-с Зеро. Хэлло, мальчики! Что-то вид у вас не очень веселый. Может быть, я могу вам чем-нибудь помочь?
 
 
 
 
 

 
 
После того как братья объяснили миссис Зеро суть своих затруднений, она поставила свою машину рядом с 11 коллекционными машинами и выпорхнула из нее.

М-с Зеро. Сколько теперь машин перед вами?

Братья сосчитали - получилось 12 машин.

Затем миссис Зеро разделила 12 машин в соответствии с завещанием. Половину, или 6 машин, она отдала старшему сыну, четвертую часть, или 3 машины, - среднему сыну, и шестую часть, или 2 машины, - младшему сыну.

М-с 3еро. 6 плюс 3 плюс 2 - 11 машин. Одна машина лишняя, это моя машина.
 

 
 
Изящно впорхнув в свою машину, миссис Зеро дала газ и умчалась.

М-с Зеро. Всегда к вашим услугам, мальчики! Счет за консультацию я пришлю вам попозже.
 
 
 
 
 

Этот парадокс представляет собой современный вариант старинной арабской головоломки, в котором вместо лошадей речь идет о машинах. Вы можете по своему усмотрению изменять завещание старого чудака, варьируя число машин в оставшейся после него коллекции и доли наследства, причитающиеся его сыновьям, следя лишь за тем, чтобы соблюдалось единственное условие: пополнив коллекцию еще одной машиной, сыновья получали возможность разделить наследство в соответствии с завещанием и вернуть "лишнюю" машину тому, кто любезно одолжил им ее.

Например, коллекция, оставшаяся после смерти адвоката, могла бы насчитывать 17 машин, а в завещании могло бы говориться о том, что сыновья должны получить соответственно 1/2, 1/3 и 1/9 всех машин. Если n - число машин в коллекции, а 1/a, 1/b и 1/c - доли, причитающиеся сыновьям по наследству, то парадокс возникает только в том случае, если уравнение

 n/(n+1) = 1/a + 1/b + 1/c

допускает решение в положительных целых числах. Удастся ли вам обобщить задачу на случай большего числа наследников и машин, занимаемых для того, чтобы стал возможным раздел наследства в соответствии с завещанием?

Решение парадокса состоит в том, что сумма долей, указанных в завещании, меньше 1. Если бы сыновья во исполнение завещания вздумали бы резать машины, то после раздела наследства 11/12 машины остались бы "невостребованными". Миссис Зеро, по существу, показала братьям, как распределить между ними эти дополнительные 11/12 машины. В результате старший сын получает на 6/12, средний - на 3/12 и младший - на 2/12 машины больше, чем получили бы первоначально. В сумме эти три дроби (6/12 + 3/12 + 2/12) составляют 11/12, а поскольку каждый сын получает целое число машин, необходимость в разрезании машин отпадает.

Необыкновенный код

 
 
Доктор Зета, ученый из галактики Геликс, лежащей в другом измерении пространства - времени, прибыл на Землю для сбора научной информации об ее обитателях. В США он был гостем доктора Германа. 
 
 
 
 
 
 

 
 
Д
-р Герман. Почему бы вам не прихватить с собой Британскую энциклопедию? В ней в сжатом виде изложен колоссальный опыт всего человечества.

Д-р Зета. Великолепная идея! Жаль только, что я не смогу взять с собой столь большую массу.  
 
 
 
 

 
 
Д
-р Зета. Впрочем, я могу закодировать энциклопедию на этом металлическом стержне. Для этого мне понадобится нанести на него одну-единственную риску.

Д-р Герман. Вы шутите, коллега? Разве может одна-единственная риска нести такое огромное количество информации?  
 
 
 
 

 
 
Д
-р 3ета. Разумеется, может, мой дорогой Герман! В вашей энциклопедии меньше тысячи букв и специальных знаков. Каждую букву и каждый знак я обозначу числами от 1 до 999, добавляя в случае необходимости нули слева, чтобы все коды были трехзначными. 
 
 
 
 
 

 
 
 Д
-р Герман. Я не вполне уловил вашу мысль. Как, например, вы закодируете слово "КОТ"?      

Д-р 3ета. Очень просто. Закодирую каждую из трех букв так, как я только что говорил, и получу 003001020.
 
 
 
 
 

 
 
С помощью своего мощного карманного компьютера доктор Зета быстро считал строку за строкой Британскую энциклопедию и закодировал весь текст в виде одного гигантского числа. Поставив перед ним нуль с запятой, он превратил это число в конечную десятичную дробь.
 
 
 
 
 

 
 
Затем доктор Зета нанес риску на металлический стержень, разделив его па две части (a и b) так, чтобы их отношение было равно полученной дроби. 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
Д
-р Зета. Когда я вернусь на родную планету, один из наших компьютеров измерит отрезки a и b и вычислит дробь a/b. Затем он декодирует ее и отпечатает для нас всю вашу энциклопедию!
 
 
 
 
 

Если вы никогда не сталкивались с проблемами кодирования и декодирования, то вам, несомненно, будет интересно самостоятельно закодировать и декодировать несколько простых сообщений с помощью какого-нибудь числового кода, аналогичного предложенному доктором Зета. Коды позволяют нам прочувствовать всю важность взаимно-однозначного соответствия и отображения структуры на изоморфную структуру. Такие коды находят применение в высших разделах теории доказательств, Курт Гёдель доказал свою знаменитую теорему о том, что в каждой достаточно сложной (содержащей аксиомы арифметики целых чисел) дедуктивной системе существуют утверждения, которые в рамках этой системы невозможно ни доказать, ни опровергнуть. Доказательство Гёделя основано на использовании числового кода, позволяющего сопоставить каждой теореме дедуктивной системы единственное и очень большое целое число.

Разумеется, кодирование всей энциклопедии с помощью одной-единственной риски на стрежне хорошо лишь в теории, но отнюдь не на практике. Трудность состоит в том, что необходимая для такого кодирования точность недостижима. Ширина риски должна быть меньше размеров электрона, и длину обоих отрезков a и b необходимо измерять с такой же точностью. Но если предположить, что два отрезка можно измерить с точностью, достаточной для получения требуемой дроби, то метод доктора Зета следует признать вполне осуществимым.

Обратимся теперь к иррациональным числам. Математики считают, что десятичное разложение числа pi "бесструктурно", как любая другая бесконечная последовательность случайных цифр. Если это так, то можно утверждать, что какой бы конечный набор цифр мы ни взяли, в разложении pi найдется совпадающий с ним отрезок. Иначе говоря, где-то в разложении числа pi встречается отрезок, совпадающий с закодированной доктором Зета Британской энциклопедией. Более того, где-то в десятичном разложении числа л встречаются отрезки, совпадающие с закодированными текстами всех когда-либо напечатанных работ и даже всех сочинений, которые когда-нибудь будут созданы!

Любой конечный набор цифр встречается и в десятичных разложениях иррациональных чисел, в которых распределение цифр не случайно, а подчинено простым и ясным закономерностям. Например, любой конечный набор цифр заведомо встречается в десятичном разложении

0, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 …

(после запятой выписаны подряд все целые числа).

Гостиница "Бесконечность"

 
 
Перед своим отлетом доктор Зета поведал поистине фантастическую историю.

Д-р 3ета. В самом центре нашей галактики находится огромная гостиница "Бесконечность". В ней действительно бесконечно много однокомнатных номеров, уходящих через черную дыру в другое измерение. В гостинице есть первый номер, есть второй (комнаты перенумерованы по порядку), но нет последнего.  
 
 

 
 
Д
-р Зета. Однажды в гостиницу по пути в другую галактику заглянул командир неизвестного летающего объекта (НЛО).
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
Д
-р Зета. Хотя ни одного свободного места не было, управляющий гостиницей все же нашел способ устроить пилота: он попросил каждого обитателя гостиницы переселиться в комнату с номером на единицу больше, чем у той, в которой тот проживал прежде, и поселил командира НЛО в освободившийся первый номер.
 
 
 
 

 
 
Д
-р 3ета. На следующий день в гостиницу прибыли 5 супружеских пар, совершавших свадебное путешествие. Управляющий и тут не растерялся и, переселив каждого обитателя гостиницы в комнату с номером на 5 больше, чем у той, в которой тот проживал прежде, отвел супружеским парам освободившиеся комнаты с номерами от 1 до 5.
 
 
 
 

 
 
Д
-р Зета. В конце недели в гостиницу нагрянули участники съезда продавцов жевательной резинки. Их было бесконечно много.

Д-р Герман. Я в силах понять, как управляющий гостиницы "Бесконечность" мог бы разместить любое конечное число вновь прибывших, но как разместить бесконечное множество гостей? 
 
 
 

 
 
Д
-р 3ета. Управляющий легко справился и с этой задачей: каждого обитателя гостиницы он переселил в комнату с номером вдвое больше, чем у той, которую тот занимал прежде.
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 Д
-р Герман. Понял! Все прежние постояльцы гостиницы оказались после переселения в комнатах с четными номерами, а бесконечное множество освободившихся комнат с нечетными номерами управляющий предоставил продавцам жевательной резинки.
 
 
 
 
 

Ни одно конечное множество невозможно поставить во взаимно-однозначное соответствие с любым из его собственных подмножеств. В случае бесконечных множеств такое утверждение неверно. Бесконечные множества нарушают старое правило "часть меньше целого". Бесконечное множество можно определить как множество, которое можно поставить во взаимно-однозначное соответствие с собственным подмножеством.

Управляющий гостиницей "Бесконечность" сначала показал, что множество всех натуральных чисел можно поставить во взаимно-однозначное соответствие с одним из его собственных подмножеств, вычеркивая из исходного множества один или пять элементов. Тот же прием позволяет устанавливать взаимнооднозначное соответствие между бесконечным множеством и его собственным подмножеством, получаемым при вычеркивании любого конечного числа элементов.

Вычеркиванию элементов можно придать несколько более драматический характер. Представим себе, что на столе перед нами лежат шкала к шкале две бесконечные линейки с равномерными сантиметровыми делениями. Нулевые отметки на обеих шкалах совмещены и находятся в центре стола. Деления с отметками простираются неограниченно далеко вправо, причем между отметками существует взаимно-однозначное соответствие: 0 - 0, 1 - 1, 2 - 2 и т.д. Сдвинем теперь одну из линеек на n см вправо, После этой операции деления сдвинутой линейки по-прежнему будут находиться во взаимно-однозначном соответствии с делениями неподвижной линейки: если линейка была сдвинута, например, на 3 см, то между делениями установится взаимно-однозначное соответствие 0 - 3, 1 - 4, 2 - 5, … Выступающий влево отрезок нижней линейки длиной n см соответствует величине сдвига, но та часть шкалы неподвижной линейки, которая совпадает со шкалой сдвинутой линейки, имеет бесконечную длину. Поскольку величине сдвига n можно придавать любые значения, мы можем вычеркивать из бесконечного множества любое конечное число n элементов и получать бесконечное множество, содержащее столько же элементов, сколько их было в исходном множестве.

Своим последним маневром управляющий гостиницей освободил бесконечное множество комнат. Это означает, что, вычитая из бесконечности бесконечность, можно получить снова бесконечность. Действительно, множество всех натуральных чисел можно поставить во взаимно-однозначное соответствие с множеством всех четных чисел. Если из всех натуральных чисел вычеркнуть четные, то останется бесконечное множество нечетных чисел.

Лестница алефов

 
 
Гостиница "Бесконечность" - лишь один из многих парадоксов, связанных с бесконечностью. Существует много различных бесконечностей! Множество натуральных чисел - самая "бедная" из бесконечностей, занимающая низшую ступень бесконечной иерархии. Вторая ступень соответствует бесконечности множества точек во Вселенной, а третья ступень - еще большей бесконечности!
 
 
 

 
 
Немецкий математик Георг Кантор, открывший лестницу бесконечностей, ввел для каждой ступени специальные обозначения: алеф-нуль, алеф-один, алеф-два и т.д.
 
 
 
 
 
 
 

Кардинальное число множества - это число элементов в нем. Например, кардинальное число множества букв слова "КОТ" равно 3. Любое конечное множество имеет конечное кардинальное число. Георг Кантор открыл, что одни бесконечные множества могут быть "больше" других. Кардинальные числа бесконечных множеств он обозначил первой буквой древнееврейского алфавита, которая называется "алеф". Индекс у алефа указывает порядковый номер ступени в иерархии бесконечностей.

Кардинальное число множества всех натуральных чисел (так называемого счетного множества) Кантор обозначил алеф 0 (алеф-нуль). Множество всех четных чисел, так же как и множество всех нечетных чисел, имеет кардинальное число алеф 0. Следовательно, алеф 0 + алеф 0 = алеф 0. Парадокс с гостиницей "Бесконечность" показывает, что в некотором смысле справедливо и равенство алеф 0 – алеф 0 = алеф 0. Как необычна арифметика кардинальных чисел!

Бесконечное множество всех действительных чисел больше, чем множество целых чисел. Кантор считал, что оно имеет кардинальное число алеф 1 (алеф-один) - первое трансфинитное число, которое больше чем алеф 0. С помощью своего знаменитого "диагонального процесса" Кантор доказал, что множество всех действительных чисел невозможно поставить во взаимнооднозначное соответствие с множеством целых чисел. Кроме того, Кантор установил взаимно-однозначное соответствие между множеством всех действительных чисел и множеством точек на любом отрезке прямой, на всей бесконечной прямой, множеством точек квадрата, плоскости, неограниченно простирающейся во все стороны, куба, бесконечного пространства, а также гиперкубов и пространств более высокой размерности.

Кантор доказал также, что кардинальное число 2 алеф больше, чем алеф, то есть между множествами с кардинальными числами 2 алеф и алеф невозможно установить взаимно-однозначное соответствие. Следовательно, лестница алефов продолжается вверх нескончаемо.

Математики говорят, что множество действительных чисел обладает "мощностью континуума", и обозначают его кардинальное число c. Кантор пытался доказать, что c = алеф 1, но это ему так и не удалось. Через много десятилетий работами Курта Гёделя и Пола Коэна было установлено, что аксиомы обычной теории множеств не позволяют решить вопрос, интересовавший Кантора. Современная теория множеств делится на канторовскую и неканторовскую. Канторовская теория множеств предполагает, что c = алеф 1. Неканторовская теория множеств считает, что между c и алеф 1 заключено бесконечно много трансфинитных чисел.

Знаменитая "гипотеза континуума" (как стали называть предположение Кантора) была решена сравнительно недавно, когда Коэн и другие математики доказали, что она неразрешима. Аналогичная ситуация возникла в геометрии после того, как было доказано, что постулат Евклида о параллельных нельзя вывести из других аксиом евклидовой геометрии. Этот постулат можно заменить другими, и в зависимости от того, какой постулат будет принят, геометрия делится на евклидову и неевклидову.

Мои тренинги
Презентация обучающих программ
Каждый день online, 12:00 (мск)
Напишите свой запрос на сайте
Консультант свяжется с вами
Материалы конференции
5000 рублей
Вебинар Ольги Зобницевой (в ЗАПИСИ)
Приобрести за 900 рублей