Мартин Гарднер. А ну-ка, догадайся!
От переводчика
Современники Иоганна-Себастьяна Баха восхищались его искусством органиста. Он же, не видя ничего особенного в своем исполнении, считал, что главное — вовремя нажимать нужную клавишу, и всякий, кто будет прилежен, сумеет достичь такой же беглости и выразительности. Автор предлагаемой вниманию читателя книги, непревзойденный мастер одного из труднейших жанров научно-популярной литературы — так называемой занимательной науки, Мартин Гарднер в полной мере владеет высоким искусством "вовремя нажимать нужную клавишу". Его книги привили и продолжают прививать вкус к точным наукам, и в первую очередь к математике, множеству людей во всем мире, открыв им прекрасное лицо царицы и служанки всех наук, не всегда и не во всем видимое сквозь завесу иссушающего формализма.
Это пятая по счету книга Мартина Гарднера в серии книг по занимательной математике, выпускаемой издательством "Мир" [См.: Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. М.: Мир, 1971; Математические досуги. - М.: Мир, 1972-Математические новеллы. М.: Мир, 1974; Есть идея! М.: Мир, 1982]. Она посвящена парадоксам и по своей структуре напоминает его предыдущую книгу "Есть идея!" Это тоже "книжка с картинками", сопровождаемыми краткими пояснениями и небольшими комментариями. Слово "парадокс" автор толкует в самом широком смысле и умело вовлекает читателя в обсуждение простых и тонких проблем, заставляет пристальнее приглядеться к тому, что давно известно, критически переосмыслить часто встречающиеся рассуждения, казалось бы неспособные таить в себе ничего нового и тем более неожиданного, приглашает к размышлениям и самостоятельному творчеству.
Книга Мартина Гарднера — великолепный образец современной занимательной математики, лицо которой во многом определила деятельность Гарднера на посту редактора и постоянного автора раздела "Математические забавы" журнала Scientific American, — занимательной, а не только развлекательной, способной заинтересовать, а не просто позабавить. Каждая книга Мартина Гарднера — праздник для, всех, кто любит математику. Не является исключением и эта книга. Прочтите ее, и вы убедитесь сами.
Ю. Данилов
Предисловие
Дездемона. Старые, избитые парадоксы, годные для того, чтобы увеселять дурней в кабаках.
Слегка изменив реплику Дездемоны ("Старые, избитые парадоксы, годные на то, чтобы увеселять нас в часы досуга"), мы получим неплохое описание этой книги. Слово "парадокс" имеет много значений. Я употребляю его здесь в широком смысле как синоним любого утверждения, которое настолько противоречит здравому смыслу и интуиции, что не может не вызывать у того, кто слышит о нем впервые, чувства удивления. Такого рода парадоксы подразделяются на четыре основных типа:
1) утверждения, которые кажутся ложными, но в действительности истинны;
2) утверждения, которые кажутся истинными, но в действительности ложны;
3) рассуждения, которые кажутся безупречными, но приводят к логическому противоречию (парадоксы этого типа обычно принято называть логическими ошибками);
4) утверждения, истинность или ложность которых недоказуемы.
В математике, как и в естественных науках, парадоксы не пустая забава. Иногда парадоксы приводят к весьма глубоким открытиям. Так, древнегреческие математики долго ломали голову над тем, почему длину диагонали единичного квадрата невозможно измерить точно линейкой со сколь угодно мелкими делениями. Этот парадокс, смущавший умы античных мыслителей, привел к расширению понятия числа и созданию теории иррациональных чисел. Математикам XIX в. казалось необычайно парадоксальным, что между всеми элементами бесконечного множества и элементами его бесконечного подмножества можно установить взаимно-однозначное соответствие. Этот парадокс привел к созданию современной теории множеств, в свою очередь оказавшей сильное влияние на философию науки. Парадоксы могут многому научить нас. Подобно хорошим фокусам, они настолько поражают наше воображение, что у нас возникает непреодолимое желание узнать, в чем их секрет. Фокусники предпочитают не раскрывать своих трюков—математикам же таить нечего. С первой и до последней страницы этой книги я стремился по мере сил простым и доступным языком объяснить (по возможности кратко), чем парадоксален каждый из отобранных мной парадоксов. Тому, кто прочитав эту книгу, захочет узнать о них побольше и обратится к другим книгам и статьям, представится возможность не только основательно углубить свои познания в математике, но и получить при этом немалое удовольствие. Список использованной мной литературы приведен в конце книги. Звездочкой отмечены менее специальные работы.
Мартин Гарднер, Ноябрь
Логика
|
|
Парадоксы о тех, кто всегда говорит правду, лжецах, крокодилах и брадобреях
Трудно переоценить ту роль, которую логика играет не только в математике, но и всюду, где применяются дедуктивные умозаключения. Каково же было всеобщее удивление, когда выяснилось, что в самой логике в изобилии встречаются, казалось бы, безупречные рассуждения, которые тем не менее приводят к явному противоречию. Использовать такое рассуждение - все равно что сначала доказать равенство 2+2=4, а потом привести не менее убедительное доказательство неравенства 2+6!=4. В каком случае логика "не срабатывает"? Не таятся ли роковые пробелы в самом процессе дедуктивного мышления?
Гигантские успехи современной логики и теории множеств - прямой результат усилий, приложенных к разрешению классических парадоксов. Не один год безуспешно бился над решением такого рода проблем Бертран Рассел, прежде чем в соавторстве с Альфредом Нортом Уайтхедом написал фундаментальный труд Principia Mathematica ("Основания математики"), в котором излагались единые основы современной логики и математики.
Парадоксы не только ставят вопросы, но и отвечают на них. Среди вопросов, на которые парадоксы дают ответ в этой главе, назовем следующие:
1) Существуют ли ситуации, в которых логически невозможно правильно предсказать будущее событие?
2) Почему в теории множеств обычно запрещается строить множества, которые могут содержать себя в качестве элементов?
3) Почему, когда мы говорим о языке, необходимо проводить различие между языком, о котором мы говорим (нашим объектным языком), и языком, на котором мы говорим (нашим метаязыком)?
Для парадоксов, отвечающих на эти вопросы, характерны косвенные признаки порочного круга в рассуждениях или ссылки на себя. В логике ссылка на себя либо приводит к крушению теории, либо обогащает ее и придает ей особый интерес. Проблема состоит в том, чтобы найти такие формулировки наших теорий, которые допускают их обогащение, но исключают все возможности, приводящие к противоречию. Придумывание парадоксов - верный способ проверки того, насколько правильно установлены пределы применимости наших логических идей.
Не следует думать, будто все парадоксы современной логики разрешены. В действительности дело обстоит далеко не так. Иммануил Кант однажды опрометчиво заметил, будто логика достигла столь полного развития, что о ней невозможно сказать ничего нового. Но логика, известная во времена Канта, составляет лишь незначительную и наиболее элементарную часть современной логики. В ней существуют гораздо более глубокие слои, по поводу которых продолжаются дискуссии между самыми выдающимися логиками современности, слои, в которых парадоксальные вопросы еще не получили ответов и многие вопросы еще предстоит сформулировать.
Парадокс лжеца
|
|
Эпименид - легендарный греческий поэт, живший на Крите в VI в. до н. э. Он-то и был первым Рипом ван Винкелем: по преданию, Эпименид проспал 57 лет.
Приписываемое ему утверждение логически противоречиво, если предположить, что лжецы всегда лгут, а нелжецы всегда говорят правду. При таком предположении утверждение "Все критяне лжецы" не может быть истинным, ибо тогда Эпименид был бы лжецом, следовательно, то, что он утверждает, было бы ложью. Но приписываемое Эпимениду утверждение не может быть и ложным, ибо это означало бы, что критяне говорят только правду и, следовательно, то, что сказал Эпименид, также истинно.
Древних греков очень занимало, каким образом, казалось бы, вполне осмысленное утверждение не может быть ни истинным, ни ложным без того, чтобы при этом не возникло противоречия. Философ-стоик Хризипп написал шесть трактатов о парадоксе лжеца, ни один из которых не сохранился до нашего времени. Парадокс лжеца преждевременно свел в могилу греческого поэта Филета Косского, который был настолько тощ, что, по преданию, подкладывал в сандалии свинец, чтобы его не унес ветер. В Новом Завете апостол Павел повторяет парадокс лжеца в послании к Титу (гл. I, стих 12 - 13):
Из них же самих один стихотворец сказал: "Критяне всегда лжецы, злые звери, утробы ленивые".
Свидетельство это справедливо…
Неизвестно, знал ли апостол Павел о парадоксе, содержащемся в этих утверждениях.
Почему эта форма парадокса лжеца, в которой утверждение сообщает нам нечто о себе, отличается большей ясностью? Потому, что она исключает всякую неоднозначность по поводу того, всегда ли лжец лжет, а говорящий правду изрекает истину.
Существует бесчисленное множество вариантов парадокса лжеца. Бертран Рассел утверждал, что, по его мнению, философ Джордж Эдвард Мур солгал единственный раз в жизни: когда кто-то спросил Мура, всегда ли он говорит правду, Мур, подумав, ответил: "Нет".
|
|
На вариантах парадокса лжеца строится фабула некоторых рассказов. Мне особенно нравится один из них - "Рассказ под присягой" лорда Дансэни. Он приведен в недавно вышедшем сборнике его малоизвестных произведений "Дух слоя Хэвисайда и другие фантастические истории". В этом рассказе Дансэни встречает человека, который торжественно клянется, что то, о чем он собирается рассказать, "все правда и ничего, кроме правды".
По словам собеседника Дансэни, ему однажды повстречался дьявол, с которым он заключил сделку. Игравший прежде хуже всех членов своего клуба в гольф, он по условиям сделки обретал способность с одного удара попадать в лунку. После того как он несколько раз подряд попал в лунку с одного удара, все решили, что он как-то жульничает, и исключили его из клуба. В конце рассказа Дансэни спрашивает у своего собеседника, что по условиям сделки получил взамен дьявол. "Он навсегда лишил меня способности говорить правду", - гласил ответ.
"Пуговицы" и надписи на стенах
|
|
|
|
Почему эти надписи противоречивы? Да потому, что каждая из них противоречит тому, к чему призывает. Нетрудно привести множество других аналогичных примеров: объявление "Уничтожайте объявления!", надпись "Не читайте того, что здесь написано"; холостяк, заявляющий, что женится только на такой женщине, у которой хватит ума не выходить за него замуж; комический персонаж, утверждающий, что он решительно отказывается вступать в любой клуб, который сочтет возможным принять его в свои члены, наклейка с надписью "Сообщите нам, если эта наклейка отвалится при перевозке".
Ближе к парадоксу лжеца такие противоречивые утверждения, как "Всякое знание сомнительно" или утверждение Джорджа Бернарда Шоу "Единственное золотое правило состоит в том, что золотых правил не существует".
Не спала Мэри всего две ночки, Сочиняла лимерики всего в две строчки.
Этот лимерик [Лимерик - шуточное стихотворение из пяти строк. - Прим. перев.], автор которого неизвестен, сам по себе не парадоксален, но при чтении его напрашивается продолжение:
Не спал Джонни всего одну ночку.
В чем здесь парадокс? В том, что вы невольно достраиваете еще одну строку: "Сочинял лимерики всего в одну строчку"? Или вам кажется парадоксальной сама мысль о лимерике, состоящем менее чем из пяти строк?
Юмористические руководства по стилистике и правописанию неоднократно облекались в парадоксальную форму. Например, редактор английской газеты "Санди Тайме" Говард Эванс рекомендует пишущей братии придерживаться следующих десяти правил:
Не употребляйте частицу "не" перед словами, начинающимися с "не", если это не необходимо.
Следите за согласованием определений и определяемого существительных.
Употребляя деепричастный оборот, деепричастие должно относиться к тому же лицу или предмету, к которому относится определяемый им глагол.
Не ставьте лишних, запятых.
Сказуемые должно согласовываться с подлежащими.
Об этих скомканных фразах.
Старайтесь не по мере возможности отделять частицу "не" от того глагола, к которому она относится.
Некогда ни путайте частицы "не" и "ни".
Закончив писать, внимательно прочитайте написанное, чтобы проверить, не ли вы какое-нибудь слово.
По сообщению агентства ЮПИ от 24 апреля 1970г., кандидатам на выборах в конгресс от штата Орегон было разрешено поместить на избирательном бюллетене от своего имени лозунг в 12 слов. Френк Хэтч из г.Юджин, баллотировавшийся в конгресс от демократической партии, выступил на выборах под лозунгом: "Тому, кто мыслит лозунгами в двенадцать слов, не место в этом бюллетене".
В 1909г. известный английский экономист Альфред Маршалл утверждал в одной из своих работ: "Любая короткая фраза об экономике внутренне лжива".
Треба Джонсон из г.Новый Ханаан, штат Коннектикут, рассказала мне о том, как однажды она тянула куриную дужку со своим маленьким сыном. Он выиграл и спросил: "Мама, а какое желание ты задумала?" Миссис Джонсон ответила: "Я хотела, чтобы выиграл ты". Выиграла ли миссис Джонсон? Выиграла бы она, если бы большая часть куриной дужки досталась ей?
А что было бы, если бы римский папа, который, согласно догматам католицизма, непогрешим в вопросах веры, провозгласил бы с амвона непогрешимость всех римских пап, какие только существовали, существуют и будут существовать?
В одном журнале среди рекламных объявлений мне довелось видеть следующее: "Хотите научиться читать? Мы обучаем читать заочно и в сжатые сроки. Обращайтесь по адресу …".
Ссылка на себя производит комическое впечатление, даже если она не парадоксальна. В предметном указателе к американскому изданию книги Пола Р. Халмоша "Конечномерные векторные пространства" имеется ссылка: "Хохшильд, Дж. П., 198". Фамилия Хохшильда не упоминается в книге Халмоша нигде, кроме этой ссылки, помещенной на странице 198.
Рэймонд Смаллиан опубликовал книгу о логических задачах и парадоксах под названием "Как же называется эта книга?" [Смаллиан Р. Как же называется эта книга? - М.: Мир, 1981.]. Через два года вышла новая книга Рэймонда Смаллиана о парадоксах в повседневной жизни под названием "Эта книга никак не называется".
Дуглас Хофштадтер посвятил парадоксам, связанным со ссылкой на себя, специальную статью со множеством новых примеров в январском номере журнала Scientific American за 1981г.
Прямое и противоположное утверждения
|
|
|
|
Вот еще несколько парадоксов, связанных со значением истинности некоторых утверждений. Авторы этих парадоксов неизвестны.
Перед вами три ложных утверждения. Не могли бы вы указать их?
1) 2 + 2 = 4
2) 3 * 6 = 17
3) 8 : 4 = 2
4) 13 - 6 = 5
5) 5 + 4 = 9
Ответ: ложны только утверждения 2 и 4. Следовательно, утверждение о том, что перед вами три ложных утверждения, ложно, и его можно считать третьим ложным утверждением. Вы согласны?
Сумасшедший компьютер
|
|
Бедный компьютер сошел с ума, но так и не смог решить, истинно введенное в него утверждение или ложно.
Компьютер. Истинно - ложно - истинно - ложно - истинно - ложно…
Первая в мире ЭВМ, предназначенная только для решения логических задач на определение значений истинности, была построена в 1947г. студентами-дипломниками Гарвардского университета Уильямом Буркхартом и Теодором Кэлином. Когда они предложили своей машине решить парадокс лжеца, та вошла в колебательный режим, издавая при этом (по словам Кэлина) "невероятный шум".
В научно-фантастическом рассказе Гордона Диксона "Дурацкие штучки", опубликованном в августовском номере журнала Astounding Science Fiction за 1951г., группа ученых спасают свою жизнь тем, что отвлекают ЭВМ, вводя в нее команду: "Ты должна отвергнуть утверждение, которое я сейчас ввожу в тебя, потому, что все мои утверждения ложны".
Бесконечный спуск
Несчастный компьютер оказался в таком же затруднительном положении, как человек, которого просят ответить на вопрос: "Что появилось раньше - яйцо или курица?"
Курица? Нет, ибо она должна была бы вылупиться из яйца. Яйцо? Нет, ибо его должна была бы снести курица.
Старый вопрос о том, что появилось на свет раньше - яйцо или курица, по-видимому, можно считать наиболее известным примером того, что логики называют бесконечным спуском. Концентрат овсяной каши в США обычно продают в коробках, на которых изображен человек, держащий в руках коробку овсяной каши, на которой изображен … и т. д., как в бесконечной последовательности вложенных друг в друга китайских резных шаров из слоновой кости.
В парикмахерской, где зеркала расставлены друг против друга, вы можете увидеть начальный отрезок бесконечного спуска отражений.
Писатели неоднократно использовали бесконечный спуск в фантастических произведениях. Один из персонажей романа Олдоса Хаксли "Контрапункт" Филип Кварлз пишет роман о романисте, который пишет роман о романисте, который и т. д. Бесконечные спуски встречаются в романе Андре Жида "Фальшивомонетчики", в пьесе Э. Э. Каммингса "Он" и в таких рассказах, как, например, "Записная книжка" Нормана Мэйлера, в котором молодой писатель решает написать рассказ, который написал Мэйлер.
Математик Август Де Морган написал шуточное стихотворение, первые четыре строки которого перефразируют более раннее шуточное четверостишие Джо-патана Свифта:
Блох больших кусают блошки. Блошек тех - малютки-крошки, Нет конца тем паразитам, Как говорят, ad infinitum.
Блоха большая в свой черед Кусает ту, на ком живет, Та - блох потолще, шире в талии, И нет конца им, и так далее…
Возможно, что на два давно возникших вопроса, связанных с бесконечным спуском, мы никогда не получим ответа. Первый вопрос относится к бесконечному спуску в сторону бесконечности: включает ли наша расширяющаяся Вселенная в себя "все на свете" или является составной частью некой большей, пока не известной нам системы? Второй вопрос относится к бесконечному спуску в противоположном направлении: является ли электрон неделимой частицей или обладает какой-то внутренней структурой, то есть состоит ли из еще меньших частиц? Физики считают, что многие элементарные частицы представляют собой различные комбинации кварков. Существуют ли еще меньшие частицы, из которых состоят кварки? Некоторые физики полагают, что шкала структур простирается неограниченно далеко в обе стороны. Вселенная Вселенных напоминает вложенные один в другой гигантские китайские резные шары, среди которых нет ни самого большого, ни самого маленького, подобно тому как не существует самой малой дроби и самого большого целого положительного числа.
Парадокс Платона и Сократа
|
|
|
Платон. Следующее высказывание Сократа будет ложным. Сократ. То, что сказал Платон, истинно. |
|
|
Этот вариант парадокса лжеца, широко обсуждавшийся средневековыми логиками, интересен тем, что приводит к важному выводу: источник затруднений в парадоксах с неопределенным значением истинности кроется не в ссылке на себя, а лежит глубже. Если утверждение А истинно, то утверждение В ложно, а коль скоро утверждение В ложно, то утверждение А должно быть ложным. Но если А ложно, то В истинно, а коль скоро В истинно, то А должно быть истинным. Мы вернулись к исходной позиции и можем все повторить с самого начала, подобно двум полицейским из кинокомедии, крадущимся друг за другом вдоль
стен огромного здания. Ни одно из утверждений А и В ничего не говорит о себе, но стоит взять их вместе, как одно утверждение изменяет значение истинности другого утверждения на противоположное, поэтому ни об одном из них мы не можем сказать, истинно оно или ложно.
Своих друзей вы можете развлечь следующим вариантом парадокса Платона и Сократа, предложенным английским математиком П. Э. Б. Журденом, - так называемой карточкой Журдена.
Напишите на одной стороне чистой карточки
УТВЕРЖДЕНИЕ НА ОБРАТНОЙ СТОРОНЕ ЭТОЙ КАРТОЧКИ ИСТИННО
а на обратной стороне -
УТВЕРЖДЕНИЕ НА ОБРАТНОЙ СТОРОНЕ ЭТОЙ КАРТОЧКИ ЛОЖНО.
Многие люди долго вертят в руках карточку Журдена то так, то эдак, прежде чем осознают, что оказались вовлеченными в бесконечный спуск, в котором каждое утверждение попеременно становится то истинным, то ложным.
